In diesem Video wollen wir uns mit speziellen Familien von Tensoren beschäftigen, die gerade

in der Physik eine wichtige Rolle spielen.

Und das sind die sogenannten symmetrischen und antisymmetrischen Tensoren.

Diese kommen vor allem in der Quantenmechanik und auch in der Continuumsmechanik gehäuft

vor und darum macht es Sinn, dass wir uns in dieser Vorlesung mit ihnen beschäftigen.

Im letzten Semester haben sie bereits den Begriff der Symmetrie und der Antisymmetrie

im Kontext von Bilinearformen kennengelernt.

Und da wir ja jetzt wissen, dass wir Tensoren mit K-Multilinearformen repräsentieren können,

macht es einfach nur Sinn, diese beiden Begriffe zu verallgemeinern.

Bevor wir das Ganze richtig definieren können, also die Symmetrie und die Antisymmetrie

von Tensoren, macht es Sinn, sich erstmal ein zusätzliches Werkzeug aus der Kombinatorik

anzuschauen.

Wir werden uns nämlich jetzt kurz mit Permutation und ihren Eigenschaften beschäftigen und

über diese Eigenschaften können wir dann die Symmetrie und Antisymmetrie von Tensoren

entscheidend definieren.

Das heißt, wir beginnen heute mit einer Definition zum Signum einer Permutationsabbildung.

Also folgende Definition.

Signum einer Permutation.

Aus Ihrem bisherigen Grundstudium sollten Sie wissen, dass eine Permutation eine biaktive

Abbildung zwischen zwei Indexmengen ist, die also jedem Element genau ein anderes Element

zuordnet und dabei quasi jegliche Vertauschung eines Tupels zulässt.

Und das heißt, wir betrachten nun erstmal ein K-Element n, das ist im Prinzip die Anzahl

an Indizes, die wir vertauschen möchten.

Und wir haben eine Permutationsabbildung, die werde ich immer mit so einem kleinen Pi-Zeichen

hier sehen in der Notation.

Das ist eine Abbildung von der Indexmenge 1 bis K in sich selber.

Also auch 1 bis K.

Das ist eine Permutation.

Der Indiz ist 1 bis K.

Also wir können einfach an eine Vertauschung denken, dieser Indizes.

Was wir jetzt einführen werden, was Neues, ist das sogenannte Signum oder Vorzeichen

dieser Permutation.

Dann bezeichnen wir mit folgender Ausdruck.

Wir definieren jetzt ein Operator Signum auf dieser Permutation Pi, die vorgegeben ist.

Was soll das Ganze sein?

Das ist eigentlich minus 1 oder plus 1 und das Ganze hängt ab von einer Menge.

Diese Menge bezeichnen wir mit Inf von Pi.

Wir werden gleich erklären, was das ist.

Und die Betragsstriche drum herum soll sozusagen die Kardinalität der Menge ausdrücken, das

heißt die Anzahl der Elemente in der Menge.

Und Sie sehen schon, wenn es eine gerade Anzahl ist, dann bekomme ich hier gerade ein plus

1 raus und bei einer ungeraden Anzahl an Elementen bekomme ich ein minus 1.

Und das nennen wir Signum der Permutation oder Vorzeichen auch manchmal.

Signum der Permutation Pi.

Und für die schauen wir uns jetzt die folgende Menge Inf an.

Das kommt vom Nameninversion.

Für das man die Menge der sogenannten Fehlstände oder Inversionen, daher kommt dieses Inf.

Das ist diese Menge.

Und wie ist sie definiert?

Die Anzahl, die die Menge der Inversionen bezüglich der Permutation Pi, das gibt uns